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¿Asíntotas de una función?

18 septiembre 2009 Deja un comentario Go to comments

Introducción

Uno de los temas más interesantes del estudio del análisis de funciones de los últimos cursos de bachillerato (y primero de carrera) es la representación de funciones de una variable. Y entre los cálculos que se entienden necesario para recopilar datos suficientes para la representación se encuentra el cálculo de las asíntotas de la función. En este artículo, muy adecuado teniendo en cuenta las fechas en las que estamos (cerca de los exámenes de septiembre), vamos a ver cómo realizar dicho cálculo.

Definición y tipos

Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:

Dada una función y=f(x) cuya gráfica es la curva C se dice que la recta r es una asíntota de f(x) si la curva C se acerca a r indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia r.

Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asíntotas:

  • Asíntotas horizontales
  • Asíntotas verticales
  • Asíntotas oblicuas

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma y=a. Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando x \rightarrow -\infty) y otra por la derecha (cuando x \rightarrow \infty). Se calculan de la siguiente forma:

Si \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a}, entonces y=a es una asíntota horizontal para f(x) (por la izquierda).
Si \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=b}, entonces y=b es una asíntota horizontal para f(x) (por la derecha).

Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:

  1. Funciones que no tienen asíntotas horizontales

    Por ejemplo, f(x)=x^3 cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan como resultado -\infty y +\infty respectivamente. Vemos su gráfica:

    Sin asíntotas horizontales

  2. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado

    Como ejemplo tenemos la función f(x)=e^x. En este caso \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0}, por lo que y=0 es una asíntota horizontal de f(x) por la izquierda, y \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty}, por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):

    Asíntota horizontal sólo por la izquierda

  3. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados

    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}}. En este caso, \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=1}, por lo que la recta y=1 es asíntota horizontal de f(x) tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):

    Asíntota horizontal por los dos lados

  4. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas

    Por ejemplo f(x)=\arctan{x} cumple que \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\textstyle{\frac{-\pi}{2}}}, por lo que y=\textstyle{\frac{-\pi}{2}} es asíntota horizontal de f(x) por la izquierda y \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\textstyle{\frac{\pi}{2}}}, por lo que y=\textstyle{\frac{\pi}{2}} es asíntota horizontal de f(x) por la derecha. Podéis ver su gráfica junto a sus dos asíntotas (en azul) en la siguiente imagen:

    Dos asíntotas horizontales distintas

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma x=k. No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:

Si \lim_{x \rightarrow k^-} f(x)=\pm \infty, entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el límite ha dado -\infty y por la derecha si el límite ha dado +\infty).
Si \lim_{x \rightarrow k^+} f(x)=\pm \infty, entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el límite ha dado -\infty y por la derecha si el límite ha dado +\infty).

Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de k para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea factible la existencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).

Los valores candidatos a existencia de asíntota vertical son los siguientes:

  1. Valores que anulan algún denominador de la función

    Por ejemplo, para f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}} tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto x=1.

  2. Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio

    Por ejemplo, el dominio de f(x)=x \, ln(x) es el intervalo (0,+\infty). Por tanto, x=0 es un candidato a asíntota vertical para esta función.

En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asíntotas de una función es calcular su dominio (fundamental para cualquier cálculo relacionado con la gráfica de una función) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la misma para recopilar todos los candidatos.

Vamos a ver algunos casos interesantes que pueden darse:

  1. Funciones que no tienen asíntotas verticales

    Por ejemplo, f(x)=sen(x) no tiene asíntotas verticales (su dominio es \mathbb{R} y no hay denominadores):

    Sin asíntotas verticales

  2. Funciones que tienen una asíntota vertical por los dos lados

    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{x}{x+1}} tiene un candidato a asíntota vertical en x=-1 (anula el denominador). Si calculamos los límites que hemos comentado anteriormente obtenemos los siguientes resultados:

    \lim_{x \rightarrow -1^-} f(x)=+\infty
     \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x)=-\infty

    Por lo tanto la recta x=1 es una asíntota vertical para f(x) por los dos lados. Lo vemos en su gráfica (la asíntota es la recta de color azul):

    Una asíntota vertical por los dos lados

  3. Funciones que tienen una asíntota vertical sólo por un lado

    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}} tiene un candidato a asíntota vertical en x=0 (anula los dos denominadores que tiene la función). Calculamos los límites:

    \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=0
     \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=+\infty

    Por tanto la recta x=0 es una asíntota vertical para f(x) sólo por el lado derecho de la recta (por el lado por el que el límite correspondiente da \pm \infty). Vemos la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha de x=0:

    Por este lado no hay asíntota Por este lado sí hay asíntota

  4. Funciones que tienen infinitas asíntotas verticales

    Hemos comentado antes que una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una función que tenga infinitas asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la función f(x)=\tan(x). La razón es la siguiente:

    Como \tan(x)=\textstyle{\frac{sen(x)}{cos(x)}} tenemos que los candidatos a asíntota vertical de esta función son los valores que anulen el denominador.
    Por otra parte, la ecuación     cos(x)=0 tiene infinitas soluciones, en concreto todos los números de la forma \textstyle{\frac{\pi}{2}}+n \pi con n\in\mathbb{Z}.
    Se puede comprobar de forma sencilla (con los límites anteriores) que     f(x) tiene una asíntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo que f(x) tiene infinitas asíntotas verticales. Lo vemos en su gráfica (las asíntotas en azul):

    Infinitas asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma y=mx+n. Una función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

Asíntota oblicua por la izquierda

m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}

Si m da un resultado distinto de {0} y \pm \infty prodecemos con el cálculo de n de esta forma:

n=\lim_{x \rightarrow -\infty} (f(x)-mx)

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni \infty ni -\infty), entonces la recta y=mx+n es una asíntota oblicua para f(x) por la izquierda.
 Asíntota oblicua por la derecha

m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}

Si m da un resultado distinto de {0} y \pm \infty prodecemos con el cálculo de n de esta forma:

n=\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-mx)

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni \infty ni -\infty), entonces la recta y=mx+n es una asíntota oblicua para f(x) por la derecha.

Podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:

  1. Funciones que no tienen asíntotas oblicuas

    Por ejemplo, la función f(x)=x^2 no tiene asíntotas oblicuas ya que al calcular m tanto por la izquierda como por la derecha obtenemos m=+\infty. Su gráfica es la parábola que nos solemos encontrar con más frecuencia:

    Sin asíntotas oblicuas

  2. Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados

    Por ejemplo, la función f(x)=\textstyle{\frac{x^2}{x-2}} tiene una única asíntota oblicua, que además lo es por los dos lados. Veamos cuál es exactamente dicha asíntota:

    m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \textstyle{\frac{x^2}{x-2}}=1

    n=\lim_{x \rightarrow -infty} (f(x)-1 \cdot x)=2

    Por tanto la asíntota oblicua por la izquierda es y=x+2.

    Si realizamos los cálculos cuando x \rightarrow +\infty el resultado es el mismo. Por tanto la recta y=x+2 es asíntota oblicua de la función por los dos lados. Lo vemos en la siguiente gráfica (la asíntota oblicua en azul):

    Una asíntota oblicua por los dos lados

  3. Funciones que tienen una asíntota oblicua sólo por un lado

    Curioso caso, complicado de encontrar por otra parte. Un ejemplo (sacado de la entrada sobre asíntotas de la Wikipedia inglesa) puede ser la función f(x)=x^{\textstyle{\frac{|x|}{x}}}+\textstyle{\frac{1}{x}}. Su gráfica es:

    Una asíntota oblicua sólo por un lado

  4. Funciones que tienen dos asíntotas oblicuas distintas

    Aunque tampoco es fácil encontrar una función de este tipo, aquí os traigo una. Concretamente es la función f(x)=\sqrt{x^2-1}. Esta función tiene dos asíntotas oblicuas, a saber, la recta y=x y la recta y=-x. Las vemos en la siguiente gráfica en color azul junto a la gráfica de la propia función:

    Dos asíntotas oblicuas distintas

Dos grandes mentiras sobre las asíntotas

Como hemos comentado antes el cálculo de las asíntotas de una función real de variable real es parte del currículo de bachillerato. En él, por norma general (en realidad por experiencia personal y por comentarios de mis alumnos durante años), podemos encontrar dos grandes mentiras sobre las asíntotas de una función. Vamos a verlas y a darles una explicación más acorde con la realidad:

  • Una función no puede cortar a una asíntota suya

    Primera mentira sobre las asíntotas: una función sí puede cortar a una asíntota suya. Un claro ejemplo de ello es la función f(x)=\textstyle{\frac{sen(x)}{x}}. Esta función tiene una asíntota horizontal, y=0, por los dos lados. Lo vemos en la siguiente gráfica:

    Función que corta a una asíntota suya

    Vemos en la imagen que la función corta infinitas veces a su asíntota tanto por un lado como por el otro.

  • Una función no puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez

    Segunda mentira sobre las asíntotas: una función sí puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez.

    Generalmente, en bachillerato se dice lo siguiente:

    Comenzad con el cálculo de las asíntotas horizontales. Si no aparece ninguna estamos obligados a calcular las oblicuas, pero si nos aparece alguna nos podemos evitar el cálculo de éstas últimas ya que en este caso tenemos asegurado que no habrá.

    Eso es falso. Valga este ejemplo como explicación:

    Asíntota horizontal y asíntota oblicua a la vez

    Sí. es el mismo ejemplo mostrado antes sobre función con una asíntota oblicua sólo por un lado. En concreto esta función tiene los tres tipos de asíntotas.

    Como podéis ver hay funciones que presentan los dos tipos de asíntotas. Lo que sí es cierto es lo siguiente:

    Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado.

    Es decir, no podemos tener una asíntota horizontal y otra oblicua por la izquierda de la gráfica (x \rightarrow - \infty) ni por la derecha (x \rightarrow \infty). Pero una función sí puede presentar una horizontal por un lado y una oblicua por otro.

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  1. Anónimo
    19 septiembre 2009 a las 12:00
    Responder

    Muy útil.
    Muchas Gracias

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