Transformaciones Lineales con Matlab

Al abordar el estudio del álgebra lineal se han encontrado a menudo con conceptos muy abstractos y que en muchos casos no tienen conexión con argumentos geométricos o físicos. Es muy posible que hayan sentido que los contenidos estudiados no tienen relación con la realidad.

Si tenemos en cuenta que los sentidos son los canales por los cuales accedemos a la información, surge casi inevitablemente la importancia de la “visualización” de los conceptos que aclara y facilita la comprensión y que además está estrechamente vinculada con modelos mentales intuitivos, simbolización y modelización, y es de gran utilidad para unir la intuición y el rigor requerido para el pensamiento matemático.

Las transformaciones lineales, se presentan muchas veces como conceptos abstractos, sin embargo muchas de ellas están presentes en la vida diaria como cuando “nos miramos al espejo”.

Muchas de las transformaciones lineales que hemos estudiado, conservan la forma y las medidas de las figuras u objetos, como por ejemplo las simetrías y las rotaciones

otras sin embargo pueden modificar sus dimensiones como las homotecias y en algunos casos también sus formas como las proyecciones.

Con el software Matlab es posible visualizar los efectos que produce una transformación lineal sobre una figura. Los siguientes son ejemplos de archivos .m de comandos y de función que muestran algunos de estos efectos (en la cartilla tienen otros).

Pueden copiar el código y pegar en el editor de Matlab, luego lo guardan y desde la ventana de comandos lo ejecutan.

Ejemplo 1: Proyección de un triángulo sobre el plano XY

% PROYECCION DE UN TRIANGULO SOBRE EL PLANO XY
% Se ingresa en una matriz las componentes de los vertices de un triangulo en cada
% columna,repitiendo al final el primer vertice de manera que se cierre el triangulo
p=[3 0 2 3;1 -2 1 1;0 1 3 0];
% La primera fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje X
% La segunda fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje Y
% La tercera fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje Z

% Se guardan estas filas en las variables x, y, z para poder realizar la grafica del triangulo
x=p(1,:);y=p(2,:);z=p(3,:);
plot3(x,y,z,'b') % realiza la grafica del triangulo original
title('PROYECCION DE UN TRIANGULO SOBRE EL PLANO XY')
a=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]; % introduce la matriz asociada a la transformacion lineal
pt=a*p; % Calcula la matriz pt cuyas columnas son las imagenes de los vertices del triangulo original
hold on % congela la ventana grafica
xt=pt(1,:);yt=pt(2,:);zt=pt(3,:); % xt,yt y zt son vectores fila que contienen las primeras, segundas y terceras componentes respectivamente de los vertices transformados
fill3(xt,yt,zt,'r') % dibuja el triangulo transformado y lo pinta de rojo
grid % añade cuadricula a la grafica
hold off % desactiva el hold
% El aula virtual de Algebra Lineal

si se lo ejecuta desde la ventana de comandos, produce el siguiente gráfico:

Ejemplo 2: a una carita se le aplica una simetría respecto del eje Y

% dibujo una carita
% la cara
t=-3:.01:3;x=2*cos(t)+2;y=2*sin(t)+2;
fill(x,y,'y')
axis([-8 8 0 8])
axis equal
hold on
% los ojos
plot(1,2.5,'ko');plot(3,2.5,'kh')
% la boca
x1=1:.1:3;y1=-cos(x1-2)+2;
fill(x1,y1,'r')
title('le aplico una simetria respecto del eje Y')
pause
a=[-1 0;0 1];
IC=a*[x;y]; % obtengo la imagen de la cara
IB=a*[x1;y1]; % obtengo la imagen de la boca
Iojos=a*[1 3;2.5 2.5]; % obtengo la imagen de los ojos
xim=IC(1,:);yim=IC(2,:);
x1im=IB(1,:);y1im=IB(2,:);
x1ojos=Iojos(1,1);y1ojos=Iojos(2,1);x2ojos=Iojos(1,2);y2ojos=Iojos(2:2);
fill(xim,yim,'y')
fill(x1im,y1im,'r')
plot(x1ojos,y1ojos,'ko');plot(x2ojos,y2ojos,'kh')
title('SIMETRIA RESPECTO DEL EJE Y')
hold off
% El aula virtual de Algebra Lineal

al ejecutarlo se obtienen los siguientes gráficos:

Ejemplo 3: archivo que dibuja una casa y le aplica diversas transformaciones lineales

%Programa para ilustrar los efectos gráficos de una aplicación lineal
H=[- 6 -6 -7 0 7 6 6 -3 -3 0 0 -6; -7 2 1 8 1 2 -7 -7 -2 -2 -7 -7];
x=H(1,:)';y=H(2,:)';plot(x,y);
axis([-10 10 -10 10]); axis('square');
pause
A=[cos(pi/4) -sin(pi/4);sin(pi/4) cos(pi/4)];
B=A*H;
x=B(1,:)';y=B(2,:)';plot(x,y); title('Rotacion de un angulo de 45º')
pause
A=[1 0;0 -1];
B=A*H;
x=B(1,:)';y=B(2,:)';plot(x,y); title('Simetría respecto OX')
pause
A=[-1 0;0 1];
B=A*H;
x=B(1,:)';y=B(2,:)';plot(x,y); title('Simetría respecto OY')
pause
A=[-1 0;0 -1];
B=A*H;
x=B(1,:)';y=B(2,:)';plot(x,y); title('Simetría respecto O')
pause
A=[0.5 0.2;0.2 0.5];
B=A*H;
x=B(1,:)';y=B(2,:)';plot(x,y);title('La deformamos')

% El aula virtual de Algebra Lineal

al ejecutarlo, se observa la siguiente sucesión de gráficos:

También pueden aplicar transformaciones a curvas en el espacio, como por ejemplo:

Ejemplo 4: Expandimos una hélice

% Transformacion de una curva en el espacio
t = 0:pi/50:10*pi;
x=sin(t);y=cos(t);z=t;
plot3(x,y,z,'m');
title('HELICE')
hold on
grid
%Aplicamos la transformacion que la expande un factor K=2 en todas las direcciones
puntos=[x;y;z];
M=[2 0 0;0 2 0;0 0 2];
Im=M*puntos;
xim=Im(1,:);yim=Im(2,:);zim=Im(3,:);
plot3(xim,yim,zim,'r')
% El aula virtual de Algebra Lineal

al ejecutar este archivo, Matlab nos devuelve el siguiente gráfico:

Por último, les muestro un archivo .m de función que permite aplicarle a una figura en el plano, cualquier transformación lineal, ingresando desde el teclado su matriz asociada.

function M=transformacion(A) % linea que define la funcion
%_________________________________________________________________
% Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones % lineales a
% una figura dada, ingresando la matriz asociada desde el teclado
%_________________________________________________________________
disp(' __________________________________________________________')
disp('| Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones |')
disp('| lineales a una figura dada, ingresando la matriz asociada |')
disp('| desde el teclado |')
disp(' |El aula virtual de Álgebra Lineal |')
disp(' __________________________________________________________')
A=input('Ingrese la matriz asociada a la transformacion lineal de R2 en R2: ')
% dibuja la cara
t=-3:.01:3;x=cos(t)+1;y=sin(t)+1;
plot(x,y,'r')
grid
axis equal
hold on
% dibuja el cuerpo
x1=[4 1 0 1 1 1 -1 1 3 4];y1=[-2 0 -2 -3 0 -4 -8 -4 -5 -8];
plot(x1,y1,'r')
% forma la matriz de puntos
Pcara=[x;y];Pcuerpo=[x1;y1];
% aplica una transformacion lineal de R2 en R2 cuya matriz asociada es la ingresada A
Imcara=A*Pcara;
Imcuerpo=A*Pcuerpo; xim=Imcara(1,:);yim=Imcara(2,:);x1im=Imcuerpo(1,:);y1im=Imcuerpo(2,:); plot(xim,yim,x1im,y1im,'b')
hold off
% El aula virtual de Algebra Lineal

la figura original es la siguiente:

pueden rotarla, expandirla, achicarla, aplicarle alguna simetría e incluso deformarla. Intenta ingresando diversas matrices.

Éstos son algunos ejemplos sencillos de lo que pueden realizar. En este blog pueden encontrar otros que han sido confeccionados por alumnos que ya cursaron la asignatura.



Para el trabajo integrador con Matlab se les solicita que:

• Investiguen sobre los operadores y expresiones booleanas y las estructuras de control if… else , for, while.
• Confeccionen un pequeño programa con Matlab (archivo .m de función) referido a la aplicación de transformaciones lineales a figuras en el plano o el espacio
  

Deberán presentar un informe por escrito que contenga:

• el tema específico de Álgebra Lineal que han abordado,
• una explicación del funcionamiento del programa,
• el código fuente del programa,
• un ejemplo concreto de su aplicación (es decir, una prueba de su funcionamiento)

Deberán acompañar el informe con un disquete que contenga el archivo.

Como material de consulta extra, cuentan con los enlaces indicados en este blog y el manual de Matlab que se encuentra disponible en la biblioteca del Departamento de Matemática.

Éxitos en la tarea
Saludos

la profe