Los matemáticos no estudian los objetos, sino las relaciones entre los objetos;
por tanto, les es indiferente reemplazar estos objetos por otros,
con tal que no cambien las relaciones.
La sustancia no les importa, sólo les interesa la forma.
Henri Poincaré (*)
La pericia en el empleo de los conceptos del Álgebra Abstracta, son indispensables para abordar los temas de Álgebra Lineal que se imparten en la asignatura. Por esta razón, en la primera unidad haremos una recapitulación de las estructuras algebraicas estudiadas en Álgebra I: grupo, anillo, dominio de integridad, cuerpo, para luego introducirnos en el estudio de los espacios vectoriales, estructura en la que se basa el Álgebra Lineal.
Para introducirnos en el tema, les cuento que:
La palabra Álgebra deriva de la expresión árabe “Al-jabr” que significa “restauración” del equilibrio mediante la trasposición de términos de una ecuación. Esta expresión es tomada del libro “Al-jabr wa' l muqäbala” que fuera escrito por el matemático árabe Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850) a quien se considera como el “padre del Álgebra”.
Pero el Álgebra tiene sus orígenes en Egipto y Babilonia en el segundo milenio antes de Cristo cuando estas civilizaciones la usaban para resolver ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado. A lo largo de la historia de la humanidad, esta rama de la matemática siguió desarrollándose con las contribuciones que hicieron las distintas civilizaciones y que nos han legado hasta nuestros días.
En el siglo XIX el estudio y el análisis de ecuaciones polinómicas dejó de ser el centro de atención trasladándose al tratamiento de la estructura que tenían ciertos sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas se cimentaban en el comportamiento de objetos matemáticos descubiertos al estudiar las ecuaciones polinómicas.
La necesidad de obtener fórmulas generales independientes de los coeficientes para resolver una ecuación de cualquier grado como así también determinar si eran o no resolubles mediante radicales, llevó a Galois (1811-1832) a utilizar la idea de Grupo.
Gauss, Abel y Galois, dieron prioridad en el álgebra a un conjunto de conceptos muy abstractos, entre los que figura en el primer lugar el concepto de grupo y es aquí cuando nace el Álgebra Moderna también llamada Álgebra Abstracta.
Puede decirse que el Álgebra Abstracta es la disciplina que estudia las operaciones matemáticas, pero analizadas desde un contexto abstracto y general sin que intervengan objetos concretos. Es un terreno muy amplio y fértil, sus resultados y conceptos han alcanzado importancia no sólo dentro de la misma matemática, sino también en otras disciplinas como la física, la química, ciencias de la computación, etc
Para ampliar sobre el tema:
(*) Citado en El desarrollo del Álgebra Moderna Parte III de Guillermo Dávila Rascón
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